ÁLGEBRA MODERNA II


O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as afirmativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras: 

 

(  ) . Se  16 ≡ 242 (mód. 5), pois  5 | ( 16-242). 

(  ) . 44 ≡ 58 (mod 7), então os restos são iguais a zero. 

(  ) . 133 ≡ 193 (mód.7), pois deixam os mesmos restos em suas divisões euclidianas.  

(  ) . Se  207 ≡ 39 (mód. 12), pois  12 | ( 207 - 39). 

(  ) . Se  134 ≡ 204 (mód. 5), pois  5 | ( 134-204).

 

Assinale a alternativa correta.


V V F V V


F V F V V


F F F V V


F V F V F


F V V V V

O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as afirmativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras. 

(  ) . Se  13 ≡ 238 (mód. 5), pois  5 | ( 13-238). 

(  ) . 35 ≡ 63 (mod 7), então os restos são iguais a zero. 

(  ) . 130 ≡ 190 (mód.6), pois deixam os mesmos restos em suas divisões euclidianas.  

(  ) . Se  207 ≡ 32 (mód. 12), pois  12 | ( 207 - 32). 

(  ) . Se  134 ≡ 204 (mód. 5), pois  5 | ( 134-204). 


F V V F F 


V V F F V


V V V F V


V F F V V 


V V F F F 

O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as afirmativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras. 

(  ) . Se  16 ≡ 241 (mód. 5), pois  5 | ( 16-241). 

(  )  49 ≡ 56 (mod 7), então os restos são iguais a zero. 

(  )  133 ≡ 193 (mód.6), pois deixam os mesmos restos em suas divisões euclidianas.  

(  ) Se  207 ≡ 32 (mód. 12), pois  12 | ( 207 - 32). 

(  )  Se  132 ≡ 202 (mód. 5), pois  5 | ( 132-202).

 

Assinale a alternativa correta.


V F F V V 


V V F F F 


F V V F F


V V V F V


V V F F V

Leia e analise cada alternativa a seguir e assinale a que corresponde corretamente ao conceito de lei de composição interna e/ou operação interna.


Toda operação interna  não é uma lei de composição interna, mas toda lei de composição interna é uma aplicação de funções.


O domínio da lei de composição interna e de operação interna não deve ser um subconjunto do produto cartesiano, pois precisamos de um par de elementos para agir sobre ele e transformá-lo em um terceiro elemento.


Apenas o domínio da lei de composição interna não deve ser um subconjunto do produto cartesiano, pois precisamos de um par de elementos para agir sobre ele e transformá-lo em um terceiro elemento.


A operação interna não é uma lei de composição interna completamente definida, isto é, não há restrições para obtenção do resultado.


Toda operação interna é uma lei de composição interna, mas nem toda lei de composição interna é uma operação interna.

Problemas Diofantinos possuem menos equações que variáveis desconhecidas e se resumem a achar inteiros que deverão funcionar corretamente para todas as equações. É uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Uma equação linear Diofantina é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um.

Ao determinar todas as soluções inteiras da equação diofantina 56x + 72y = 40, temos como equação generalizada da situação:

 


x = 32 -  t   e  y = - 15


x = - 37 - 9 t   e  y = - 13 - 7 t


x = - 32 - 9 t   e  y = - 15 - 7 t


x = - 32 - 9 t   e  y = - 5 - 17 t


x = - 12 - 9 t   e  y = - 15 - 5 t

Dada a equação diofantina 4x + 8y = 32, quais pares de inteiros são soluções:


(1, -10), (2, 3) e (3, -6).


(10, -1), (2, 3) e (-3, 6).


(1, 2), (2, 2) e (3, 4).


(2, 2), (1, 4) e ( 2, 3).


(-2, 5), (4, 2) e (2, 3).

Ao estudar o capítulo de estruturas algébricas, identificamos e reconhecemos a partir de definições e da lei que define cada operação ou a tábua que a representa, as propriedades referentes a cada uma das situações nas quais definirão a estrutura a que pertencerão, tendo uma visão mais ampla da álgebra em nossa formação acadêmica e profissional.

Mediante esse aprendizado, indique a alternativa que indica quais propriedades definimos à estrutura algébrica: ANEL.


Propriedades associativa, comutativa, elemento simétrico, elemento neutro, munidas das operações de adição e multiplicação, e a propriedade distributiva em relação à adição.


Propriedades associativa, distributiva, elemento simétrico, elemento neutro, munidas das operações de adição e multiplicação, e a propriedade comutativa em relação à adição.


Elemento absorvente, elemento neutro e propriedade comutativa, munidas das operações de adição e multiplicação, e a propriedade distributiva em relação à adição.


Propriedades distributiva, comutativa, elemento simétrico e elemento neutro, munidas da operação de multiplicação, e a propriedade associativa em relação à adição.


Elemento regular, elemento neutro e propriedade comutativa, munidas das operações de adição e multiplicação, e a propriedade distributiva em relação à adição.

Uma lei de composição interna e operação têm conceitos diferentes, mas ambas são aplicações (ou funções).

O domínio de ambas é um produto cartesiano de dois conjuntos ou um subconjunto dele, pois precisamos de um par de elementos para agir sobre eles e transformá-los em um terceiro elemento.

Verificamos que toda operação é uma lei de composição interna, mas nem toda lei de composição interna é uma operação interna.

Uma aplicação f:  A x A  →  A  é dita  operação,  ou, lei composição interna,  sobre  A  ou  em  A,  se:

 x,  y    A,  y    A

Assim: f (x, y) = x  y,  (x, y) ∈ A x A. 

Analisando a relação IN x IN  → IN,  definida pela lei f(x, y) = x . y podemos afirmar que:


define uma operação para quaisquer  x, y ∈ IN.  


define uma operação para quaisquer  x, y ∈ IN, mas não define uma lei de composição interna.


define apenas uma lei de composição interna para quaisquer  x, y ∈ IN.  


define apenas vários pares ordenados para quaisquer  x, y ∈ IN.  


 não define uma operação para quaisquer  x, y ∈ IN.  

O termo propriedade tem o significado de alguma coisa que lhe é característica, e é fundamental no aprendizado da álgebra.

Utilizando o conceito das propriedades matemáticas, usadas nas operações, afirmamos que:

 

I. Toda operação é definida para dois elementos, mas se ela for associativa então, pode ser realizada com mais elementos sem a necessidade de prioridades.

II. Toda operação deve ser resolvida da esquerda para direita, mas se ela for comutativa então, pode ser realizada em qualquer ordem.

III. O elemento neutro é aquele que não muda o resultado da operação, em qualquer ordem que esta seja realizada.

 

 Podemos afirmar que as propriedades existentes ao operarmos em um conjunto B = Z x Z, seguindo a lei de formação: (a, b)  ❋  (c,  d)  =  (a.c,  b  +  d), onde a, b, c e d são os elementos a serem operados, são:

 

                                   


Associativa, comutativa e  não existe o elemento neutro. 


Não é associativa, mas é comutativa e o elemento neutro é (1, 0).


Não é comutativa, mas é associativa e o elemento neutro é (1, 0).


Associativa, comutativa e o elemento neutro é (1, 0).


Associativa, comutativa e o elemento neutro é (1, 1).

Uma lei de composição interna e operação têm conceitos diferentes, mas ambas são aplicações (ou funções).

O domínio de ambas é um produto cartesiano de dois conjuntos ou um subconjunto dele, pois precisamos de um par de elementos para agir sobre eles e transformá-los em um terceiro elemento.

Verificamos que toda operação é uma lei de composição interna, mas nem toda lei de composição interna é uma operação interna.

Uma aplicação f:  A x A  →  A  é dita  operação,  ou, lei composição interna,  sobre  A  ou  em  A,  se:

 x,  y    A,  y  A

Assim: f (x,  y)  =  x   y,   (x,  y)  A x A. 

 

Analisando a relação IN x IN  → Z,  definida pela lei f(x, y) = x – y podemos afirmar que:


define uma operação.


não define uma operação.


não define uma lei de composição interna.


define uma operação, mas não define uma lei de composição interna.


não define uma operação e não define uma lei de composição interna.

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