ÁLGEBRA MODERNA II


João recebeu x notas de R$50,00 e saldou uma dívida com y notas de R$20,00. O saldo após o acerto é de R$2000,00, e ao montar a equação obtemos 50x - 20y = 2000. Resolvendo esta equação encontramos o conjunto solução


S = {(200 + 2t, 400 + 5t), t pertencente a Z e t ≥ - 80)}.


S = {( -200 + 2t, -400 + 5t), t pertencente a Z e t ≥ - 80)}.


S = {(200 - 2t, 400 - 5t), t pertencente a Z e t ≥ - 80)}.


S = {(20 + 2t, 40 + 5t), t pertencente a Z e t ≥  80)}.


S = {(200 + 2t, -400 - 5t), t pertencente a Z e t ≥  800)}.

Um conjunto de m inteiros, m > 0, forma um sistema completo de restos módulo m denominando uma partição em classes de equivalência, que correspondem aos possíveis restos da divisão.

Lembrando que a congruência é uma relação de equivalência definida no conjunto Z.

Considerando a congruência módulo 7,  e escrevendo o sistema completo de restos, ou seja, as suas classes de equivalência, podemos dizer que é correto afirmar que:


Resto 2 = { . . ., -21, -10, -5, 2, 9, 16, 23, 30, . . .}.


Resto 3 = { . . ., -21, -11, -4, 3, 10, 17, 24, 31, . . .}.


Resto zero = { . . ., -21, -14, -7, 0, 7, 12, 18, 24 . . .}.


Resto 4 = { . . ., -19, -10, -3, 4, 11, 18, 25, 32, . . .}.


Resto 1 = { . . ., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, 29, . . .}.

Uma equação diofantina linear  tem solução se o m.d.c. (a, b) for divisor de c. Caso contrário não existe solução em Z.

Sendo assim, qual das equações abaixo não tem solução em Z:


2x + 4y = 16.


10x + 5y = 29


3x + 6y = 24


2x + 4y = 16


x + 4y = 16

Averiguando a equação diofantina linear 39 x + 26 y = 105, percebemos que a equação não admite soluções inteiras. 

A justificativa correta para essa resposta está na alternativa: 

 


Note que d não divide c, portanto se o m.d.c. (13, 26) = 13 e 13 não divide 13, então a equação dada não tem solução.


Note que d não divide c, portanto se o m.d.c. (39, 26) = 13 e 13 não divide 105, então a equação dada não tem solução.


Note que b não divide c, portanto se o m.d.c. (39, 13) = 13 e 13 não divide 105, então a equação dada não tem solução.


Note que a não divide c, portanto se o m.d.c.(13, 26) = 39 e 39 não divide 105, então a equação dada não tem solução.


Note que c não divide d, portanto se o m.d.c. (39, 26) = 13 e 13 não divide 26, então a equação dada não tem solução.

Ao estudar o capítulo de estruturas algébricas, identificamos e reconhecemos a partir de definições e da lei que define cada operação ou a tábua que a representa, as propriedades referentes a cada uma das situações nas quais definirão a estrutura a que pertencerão, tendo uma visão mais ampla da álgebra em nossa formação acadêmica e profissional.

Mediante esse aprendizado, indique a alternativa que indica quais propriedades definimos à estrutura algébrica: GRUPO ABELIANO.


 Propriedades associativa e comutativa, elemento simétrico e elemento neutro.


Propriedades associativa e distributiva, elemento simétrico e elemento neutro.


Elemento regular, elemento neutro e propriedade comutativa.


Propriedades distributiva e comutativa, elemento simétrico e elemento neutro.


Elemento absorvente, elemento neutro e propriedade comutativa.

Ao estudar o capítulo de estruturas algébricas, identificamos e reconhecemos a partir de definições e da lei que define cada operação ou a tábua que a representa, as propriedades referentes a cada uma das situações nas quais definirão a estrutura a que pertencerão, tendo uma visão mais ampla da álgebra em nossa formação acadêmica e profissional.

Mediante esse aprendizado, indique a alternativa que indica quais propriedades definimos à estrutura algébrica: GRUPO.


Propriedades associativa,  comutativa e elemento simétrico.


Propriedades associativa, distributiva e elemento simétrico. 


Elemento absorvente, elemento neutro e propriedade comutativa.


Elemento regular, elemento neutro e propriedade comutativa.


Propriedades associativa, elemento neutro e elemento simetrizável.

A subtração em IN é uma operação que corresponde a todo par ordenado(a, b), cuja diferença é uma função definida dentro de um conjunto qualquer, não obtendo resultado, somente, em IN x IN, logo podemos dizer que a subtração:

 


é uma função onde o conjunto imagem é o conjunto dos números naturais.


é uma lei de composição interna que não está completamente definida dentro do conjunto dos números naturais, portanto não é uma operação interna.


não é uma lei de composição interna e nem uma operação interna.


não é uma lei de composição interna, mas é uma operação interna.


é uma operação interna definida dentro de um conjunto qualquer.

A multiplicação em IQ é uma operação que corresponde a todo par ordenado(a, b), cujo produto é uma função definida dentro do conjunto IQ, obtendo resultado, somente, em IQ x IQ, logo podemos dizer que a multiplicação:


é uma lei de composição interna completamente definida, logo é uma operação interna.


é uma função onde somente o domínio é representado por elementos do conjunto IN.


é uma lei de composição interna que não está completamente definida, mas é uma operação interna.


não é uma lei de composição interna e nem é uma operação interna.


é uma lei de composição interna completamente indefinida.

O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as afirmativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras. 

(  ) . Se  a ≡ b (mód. m) e  c ≡ d (mód. m), então (a / c) ≡ ( b / d) (mód. m). 

(  ) . Se a ≡ b (mod m), então d ≡ b (mod m). 

(  ) . Se a ≡ b (mód. m) e c ≡ d (mód. m), então (a - c) ≡ (b - d) (mód. m). 

(  ) . Dois inteiros quaisquer são sempre congruentes, se, e somente se a e b dão o mesmo resto na divisão euclidiana por m.  

(  ) . Se  a . c ≡ b . c (mód. m) e  mdc ( c, m) = d < 0,  então a ≡ b  (mód. m/ d). 

 

Assinale a alternativa correta.


F F V V V


F F V V F


F V V V F


F F V F V


V F V V F

O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as alfirmativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras.

(  ) . Se  a ≡ b (mód. m) e  c ≡ d (mód. m), então (a + c) ≡ ( b + d) (mód. m). 

(  ) . Se a ≡ b (mod m), então d ≡ a (mod m). 

(  ) . Se a ≡ b (mód. m) e c ≡ d (mód. m), então (a - c) ≡ (b - d) (mód. m). 

(  ) . Dois inteiros quaisquer são sempre congruentes módulo 3. 

(  ) . Se  a.c ≡ b.c (mód. m) e  mdc ( c, m) = d > 0,  então a ≡ b  (mód. m/ d). 

 

Assinale a alternativa correta.


F F V F F


V F V F V


F V V F V


V F F F V


V V V F F

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