Verifique se o vetor dado  = (7, 8, 9)  pertence ou não ao subespaço vetorial com   

1= (2, 1, 4) ; 2 = (1, -1, 3) e3 = (3, 2, 5); e assinale a alternativa que indica os valores reais de a, b e c na combinação linear definida por

  = a  1+ b 2 + c3

 

Com os valores reais em a = 0; b = - 1 e c = 3, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

Com os valores reais em a = 0; b = 2 e c = - 3, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

 

Com os valores reais em a = 0; b = - 2 e c = 2, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

 

Com os valores reais em a = 1; b = - 2 e c = - 3, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

 

Com os valores reais em a = 0; b = - 2 e c = 3, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

 

Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R³ são ou não são subespaços vetoriais de

S = {(x, y, z) ∈ R³ | (2x +3y – 4z = 0)}}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 

O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x - 3y + 4z = 10} de R³  satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.

 

O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³ satisfaz apenas uma das condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.

 

O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³  não satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R, por pertencer a subespaços próprios.    

O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³  não satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.

 

O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³ satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.

 

Ao Verificar se A = {(1,-3), (-3,9)} é uma base de R² .

Podemos afirmar que

A é base de R², pois A é Linearmente Dependente.

A não é base de R², pois A é Linearmente Dependente.

A é base de R², pois A é Linearmente independente.

A não é base de R², pois  a1 = 2 a2.

 A não é base de R², pois A é Linearmente Independente.

Dada a matriz A   de uma transformação linear T: VV .Determinando os autovalores  de  A=  teremos como solução:

λ 1= 2 e λ 2 = - 12.

λ 1= - 2 e λ 2 = 2.

λ 1= - 2 e λ 2 =  - 12.

λ 1=  2 e λ 2 = 12.

λ 1= - 2 e λ 2 = 12.

Sejam V um espaço vetorial e A = { v1, v2, ..., vn} está contido em V.

 A equação a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0, admite, pelo menos, uma solução, chamada de solução trivial: a1 = a2 = a3 = 0

Diz-se que o conjunto A é linearmente independente (LI) quando a equação admitir apenas a solução trivial. E se existirem soluções diferentes de zero, diz-se que o conjunto A é linearmente dependente.

 Com base nessas informações verifique se o espaço vetorial V = IR³, os vetores v1 = (2, -1, 3),

v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3, 1), formam um conjunto:

Linearmente independente, pois 3v1 + 4v2 – v3 = 0

Linearmente dependente, pois 3v1 + 4v2 – v3 = 0

Linearmente dependente, pois 3v1 - 4v2 – v3 = 0

Linearmente dependente, pois 3v1 - 4v2 – v3 = 0

Linearmente dependente, pois 3v1 + 4v2 – v3 = 5

(x1 + x2, y1 - y2 - 1, z1 + z2)

(x1 + x2 - 1, y1 - y2, z1 + z2)

(x1 + x2, y1 - y2 - 2, z1 + z2)

(x1 + x2, y1 - y2, z1 + z2 +1)

(x1 + x2, y1 + y2 - 2, z1 + z2 +1)

3/8

-3/8

8/3

- 8/3

8

Seja  T : IR²  IR ², um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . 

Se T é diagonalizável, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T é expressa pelos elementos:

Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12 =  ; e na linha 2, elementos a21 =  e a22 = 0.

Linha 1, elementos: a11 = -   e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -  .

Linha 1, elementos: a11 = ( + 1)  e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = ( - 1).

Linha 1, elementos: a11 =  e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = - .

Linha 1, elementos: a11 = 2  e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.

Seja o operador linear T: IR² → IR², dado por T(x, y) = ( 3x, 8x - y), podemos dizer que o polinômio característico dessa transformação é definido por

Portanto os valores próprios dessa transformação são:

Determinando  os autovalores e autovetores de T(x , y) = ( - y, x ), podemos afirmar que é correto dizer:

Tem autovalores, mas não autovetores para essa transformação linear.

Não tem autovalores, mas tem autovetores para essa transformação linear.

Não tem autovalores e autovetores para essa transformação linear.

Tem autovalores e autovetores para essa transformação linear.

Essa transformação linear não está definida no campo vetorial.