ÁLGEBRA LINEAR II


Seja ¿T : IR2 ¿IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polin¿ caracter¿ico ¿ado por:


p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= -  λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2

Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿

Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:


Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2  e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.

Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:


λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 =  - 12.
λ 1=  2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.

Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo

¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:


V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2,  - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).

Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .

Podemos afirmar que


C não é base de R2, pois C é Linearmente Dependente.
C é base de R2, pois C é Linearmente independente.
C é base de R2, pois C é Linearmente Dependente.
C não é base de R2, pois C é Linearmente Independente.
C não é base de R2, pois  a1 = a2.

Dada a matriz A =¿, calcule os autovalores da matriz A, logo em seguida marque a alternativa correta:

¿


λ 1= - 6  e λ 2 = 1.
λ 1 = - 1 e λ 2 = -2.
λ 1= 1 e  λ 2 = 3.
λ 1= - 3 e λ 2 = 6.
λ 1 =  1 e λ 2 = 6.

Seja o operador linear de IR2¿definido por T(x, y) = (2x + 3y, x - y), indique a alternativa que determina as coordenadas do vetor¿ ¿IR2¿tal que T (¿) = (8, - 1).


x = - 1 e y = - 2.
x = - 1 e y = 2.
x = 0 e y = 2.
x =1 e y =  - 2.
x =1 e y = 2.

Sabendo que o vetor¿=(4, 6, - 2) pode ser escrito como uma combina¿ linear,¿= a¿+ b¿+ c¿, tendo ¿= (1, 2, - 1),¿¿= (1, - 1, 2) e

¿¿= (1, 3, -2);¿¿podermos ¿concluir que ¿orreto dizer:


O sistema é impossível,  não admitindo soluções escalares para a, b e c.
O sistema é impossível e determinado, admitindo soluções escalares para a, b e c.
O sistema é possível e determinado, admitindo soluções escalares para a, b e c.
O sistema é possível e determinado, admitindo infinitas soluções escalares para a, b e c.
O sistema é possível e indeterminado, admitindo  infinitas soluções escalares para a, b e c.

Considere¿1 = (2, 2, 0) e¿2 = (1, 1, 1), sendo a transforma¿ T: IR3IR3, de forma que T (x, y, z) = (x, y, 1), est¿orretamente descrita na alternativa:¿


Em T(1) + T(2) =¿¿T(1¿+¿2), logo temos uma transforma¿ ¿linear.
Em T(a.1) + T(a.2)¿¿T(a.1¿+a.¿2), logo temos uma transforma¿ n¿linear.
Em T(1) + T(2)¿¿T(1 +¿2), logo temos uma transforma¿ n¿linear.
Em T(1) + T(2)¿¿T(1¿+¿2), logo temos uma transforma¿ ¿linear.
Em T(1) + T(2)¿ ¿T(1¿+¿2), logo temos uma transforma¿ n¿linear.

Para uma transforma¿ ser considerada linear deve satisfazer duas condi¿s, sendo¿1¿e¿2,¿vetores e¿a¿¿(um n¿mero real), que est¿indicadas, a seguir:

T(1¿+¿2) = T(1) + T(2).

T(a¿1) = a .T(1).

Logo podemos concluir que uma transforma¿ ¿ou n¿¿inear,sendo T (x, y, z) = (x1, ¿y1, 2) entre os espa¿ vetoriais: T: IR3¿ IR3, satisfazendo as propriedades citadas, est¿escrita em:¿


(x +x1, y + y1, - 4) e (a x1, a y1, 2- a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação  pode ser linear por  satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, não mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 2) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação  pode ser linear por  satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
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