Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R³ são ou não são subespaços vetoriais de

S = {(x, y, z) ∈ R³ | (2x +3y – 4z = 0)}}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 

• O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x - 3y + 4z = 10} de R³  satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.

   

• O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³ satisfaz apenas uma das condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.

   

• O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³  não satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R, por pertencer a subespaços próprios.    

• O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³  não satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.

   

• O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - 4z=0} de R³ satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R.