Com os valores reais em a = 8/5, b = - 14/5, porém o sistema é impossível não dando condições para a existência da combinação linear dentro desse subespaço vetorial.

Com os valores reais em a = - 8/5, b = 14/5, porém o sistema é impossível não dando condições para a existência da combinação linear dentro desse subespaço vetorial.

Com os valores reais em a = 3/5, b = 14/5, porém o sistema é impossível não dando condições para a existência da combinação linear dentro desse subespaço vetorial.

Com os valores reais em a = 8/5, b = 4/5, porém o sistema é impossível não dando condições para a existência da combinação linear dentro desse subespaço vetorial.

Com os valores reais em a = 8/5, b = 14/5, porém o sistema é impossível não dando condições para a existência da combinação linear dentro desse subespaço vetorial.

Sejam V um espaço vetorial e A = { v1, v2, ..., vn} está contido em V.

 A equação a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0, admite, pelo menos, uma solução, chamada de solução trivial: a1 = a2 = a3 = 0

Diz-se que o conjunto A é linearmente independente (LI) quando a equação admitir apenas a solução trivial. E se existirem soluções diferentes de zero, diz-se que o conjunto A é linearmente dependente.

 Com base nessas informações verifique se o espaço vetorial V = IR², os vetores v1 = (1, 0),

v2 = (0, 1) e v3 = (7, 4), formam um conjunto:

Linearmente dependente, pois a1 = 4a3 e a3 = 7a2

Linearmente dependente, pois a1 = - 4a3  e a2 = = - 7a3  

Linearmente dependente, pois a1 = 0, a2  = -7a3

Linearmente independente, pois a1 = 1, a 2= a3 = 0

Linearmente independente, pois a1 + a2 – v3 = 0

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R² são ou não são subespaços vetoriais de V = IR² e

 S = {(x, y) ∈ R² | y =4 - 2x}, ou S = {(x, 4 - 2x); x ∈ IR²} com x ∈ IR}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R² pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 

O subconjunto de IR² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (-1, 2) e (-2, 0), verifica-se que  u - v não pertence a S.

 

O subconjunto de R²  satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v  pertence a S.

 

O subconjunto de R² satisfaz apenas uma das condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v não pertence a S.

O subconjunto de R³não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1,- 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v não pertence a S.

 

O subconjunto de R² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v não pertence a S.

 

Determinando os autovalores  da transformação linear de T = IR² IR², sendo

 T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y) encontramos:

λ 1 =  2 e λ 2 = - 1/3.

λ 1 = - 2 e λ 2 = 3.

λ 1 =  2 e λ 2 = 3.

λ 1 =  2 e λ 2 = - 3.

λ 1 = - 2 e λ 2 = - 3.

Sejam V um espaço vetorial e A = { v1, v2, ..., vn} está contido em V.

 A equação a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0, admite, pelo menos, uma solução, chamada de solução trivial: a1 = a2 = a3 = 0

Diz-se que o conjunto A é linearmente independente (LI) quando a equação admitir apenas a solução trivial. E se existirem soluções diferentes de zero, diz-se que o conjunto A é linearmente dependente.

 Com base nessas informações verifique se o espaço vetorial V = IR³, os vetores v1 = (6, 2, 3) e

v2 = (0, 5, 3), formam um conjunto:

Linearmente independente, pois a1 = 0 e a2= 0.

Linearmente dependente, pois a1 = 0 e a2= 1.

Linearmente dependente, pois a1 + a2 = 0

Linearmente independente, pois a1 = 1 e a 2= 0.

Linearmente dependente, pois a1 = a2  = 1.

Seja o operador linear de IR³ definido por T(x, y, z) = (2x - y + 3z, 2y - z, 2z), indique a alternativa que determina as coordenadas do vetor IR³ tal que

 T () =  (0, 1, - 6).

x = - 4, y = - 1 e z = - 3.

x = 4, y = - 3 e z = - 1.

x = 4, y = - 1 e z = - 3.

x = - 3, y = - 1 e z = 4.

x = 4, y = - 1 e z =  3.

Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto  W, não vazio, pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 i) Para quaisquer vetores: ,  ∈ W, tivermos   x  ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,   ∈ W, tivermos a .   ∈ W.

 

 

 i) Para quaisquer vetores: ,   W, tivermos   -  ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,   ∈ W, tivermos a .   ∈ W.

 i) Para quaisquer vetores: ,  ∈ W, tivermos   -  ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,   ∈ W, tivermos a -   ∈ W.

 

 i) Para quaisquer vetores: ,  ∈ W, tivermos   /  ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,   ∈ W, tivermos a +   ∈ W.

 

 i) Para quaisquer vetores: , ∈ W, tivermos   +  ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,   ∈ W, tivermos a .   ∈ W.

 

Com os valores reais em a = 2 e b = 3, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

Com os valores reais em a = - 2 e b = - 3, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

Com os valores reais em a = 2 e b = - 1, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

Com os valores reais em a = 2 e b = - 3, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

Com os valores reais em a = - 3 e b = 2, teremos uma combinação linear pertencente ao subespaço vetorial dado.

Ao verificar se A = {(1,0,2), (-1,1,0), (1,1,1)} gera o espaço V.

Fazendo: a1 (1, 0, 2)+ a2(- 1, 1, 0) + a3 ( 1, 1, 1) = (x, y, z).

Obtemos:

a1 = 

a2 = y - 2 a3

a3 = 

a1 = 

a2 =