Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R² são ou não são subespaços vetoriais de V = IR² e

 S = {(x, y) ∈ R² | y =4 - 2x}, ou S = {(x, 4 - 2x); x ∈ IR²} com x ∈ IR}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R² pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 

• O subconjunto de IR² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (-1, 2) e (-2, 0), verifica-se que  u - v não pertence a S.

   

• O subconjunto de R²  satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v  pertence a S.

   

• O subconjunto de R² satisfaz apenas uma das condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v não pertence a S.

• O subconjunto de R³não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1,- 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v não pertence a S.

   

• O subconjunto de R² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, 2) e (2, 0), verifica-se que  u + v não pertence a S.