(x1 - y1 + x2 - y2, y1 - y2, - z1 - z2) e (a x1 + a y1, a y1, - a z1).

(x1 - y1 + x2 - y2, y1 + y2,  z1 - z2) e (- a x1 + a y1, a y1, - a z1).

(x1 - y1 - x2 - y2, y1 + y2, - z1 - z2) e (- a x1 - a y1, a y1, - a z1).

(x1 - y1 + x2 - y2, y1 + y2, - z1 - z2) e (a x1 - a y1, a y1, - a z1).

(x1 - y1 + x2 - y2, y1 + y2,  z1 - z2) e (a x1 - a y1, a y1,  a z1).

 

(8/3, - 1/3).

( - 8/3, - 1/3).

( - 8/3, 1/3).

(8/3, 0).

(8/3, 1/3).

Sabendo que os vetores  ( x + 1, 4, z) e   ( 5, 2y - 6, -10) são iguais, podemos garantir essa igualdade, no espaço tridimensional, quando:

x = 5, y = 4 e z = 10

x = -4, y = -5 e z = -10

x = 4, y = 5 e z = -10

x = -4, y = 5 e z = 10

x = 4, y = -5 e z = 10

Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.

Assim sabendo que T: IR² →R³  associa vetores pertencentes a IR² do tipo (x, y)  = ( - 2, - 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, - y, x² - y) tem-se uma transformação linear, se:

f(- 2, - 1) = ( 4, 1, 3)

f(- 2, - 1) = (- 4, 1, 5)

f(- 2, - 1) = (- 4, - 1, - 3)

f(- 2, - 1) = (- 4, 1, 3)

f(- 2, - 1) = (- 4, - 1, 5)

(x + x1, y + y1, 2) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação  pode ser linear por  satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, - 4) e (a x1, a y1, 2 - a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação  pode ser linear por  satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, não mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R³ são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R³ | x ² + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 

 

 O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R²| x ² + y + z = 0} de R² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W,  mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.

 (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente negativo.

 

 O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W,  mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.

 (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente positivo.

 

 O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W,  mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.

 (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente positivo.

 O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W,  mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.

 (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R^∗ estritamente negativo.

 

 O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W,  mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.

 (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente negativo.

 

a = 3 e b = - 9

a = - 3 e b = 9

a = 3 e b = 9

a = - 3 e b = - 9

a = - 2 e b = 9