Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R³ são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R³ | x ² + y + z = 0}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 

 

•  O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R²| x ² + y + z = 0} de R² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W,  mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) > W.

   (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente negativo.

   

•  O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ satisfaz nenhuma as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W,  mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.

   (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente positivo.

   

•  O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (-1, −1, 0) ; (-1, 0, −1) ∈ W,  mas (-1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.

   (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, 2, 2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente positivo.

•  O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (0, −1, 1) ; (1, −1, 0) ∈ W,  mas (1, −1, 1) + (1, 1, −1) > W.

   (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) > W, ∀k ∈ R^∗ estritamente negativo.

   

•  O subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R³| x ² + y + z = 0} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, −1, 0) ; (1, 0, −1) ∈ W,  mas (1, −1, 0) + (1, 0, −1) < W.

   (ii) Observe que, por exemplo, (2, −2, −2) ∈ W, mas k(2, −2, −2) < U1, ∀k ∈ R^∗ estritamente negativo.