(x + x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, não mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação  pode ser linear por  satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, 2) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação  pode ser linear por  satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

(x + x1, y + y1, - 4) e (a x1, a y1, 2 - a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se :

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R³ são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R³ | x = 1}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R² | x = 1} de R² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 , mas (1, 0, 0) - (1, 1, 0) < U0.

 (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) < U0, ∀k ∈ R + {1}. Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³ satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo,  (1, 0, 0) + (1, 1, 0) < U0.

 (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) < U0, ∀k ∈ R − {1}. Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 , mas (1, 0, 0) + (1, 1, 0) < U0.

 (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) < U0, ∀k ∈ R − {1}. Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³  satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 .

 (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

 (i) Observe que, por exemplo, (1, 1, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 , mas (1, 0, 0) + (1, 1, 0) > U0.

 (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) > U0, ∀k ∈ R − {1}. Em particular, (0, 0, 0) > U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares. 

Assim sabendo que T: IR²IR³  associa vetores pertencentes a IR² do tipo (x, y)  = (- 1, - 2), definido pela imagem f(x, y) = (y, x + y, 2x) tem-se uma transformação linear, se:

f(- 1, - 2) = (- 2, 3, - 2)

f(- 1,- 2) = ( 2, 3, 2) 

f(- 1, - 2) = (- 2, - 3, - 2)

f(- 1, -2) = (- 3, - 2, - 2)

f(- 1, - 2) = (- 2, - 3, 2)

 

 

3/8

8/3

- 8/3

8

-3/8

Ao Verificar se B = {(1,-3), (-1,2)} gera o espaço V.

Obtemos:

a1 = 2x - y

a2 = - 2x + y

a1 = - 2x - y

a1 = - x + y

a2 = 3x - y

a = 3 e b = - 9

a = - 3 e b = 9

a = - 2 e b = 9

a = 3 e b = 9

a = - 3 e b = - 9

Dada a matriz A   de uma transformação linear T: VV .Determinando o autovetor  de  A =  ,  ao utilizar o autovalor λ 1= 12, teremos como solução:

V = (5/2, 1)

V = (2/5, 1)

V = (- 5/2, - 1)

V = (3/2, - 1)

V = ( - 5/2, 1)

Dada a matriz A =  , calcule o polinômio da característico da matriz A, logo em seguida marque a alternativa correta:

λ²+5.λ - 2

 

- λ²+5.λ - 2

 

λ²−15.λ + 10

 

- λ²+15.λ - 10

λ²− 5.λ − 6