Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se :

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R³ são ou não são subespaços vetoriais de W={(x, y, z) ∈ R³ | x = 1}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

• O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R² | x = 1} de R² não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R² sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 , mas (1, 0, 0) - (1, 1, 0) < U0.

   (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) < U0, ∀k ∈ R + {1}. Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

• O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³ satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo,  (1, 0, 0) + (1, 1, 0) < U0.

   (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) < U0, ∀k ∈ R − {1}. Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

• O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 , mas (1, 0, 0) + (1, 1, 0) < U0.

   (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) < U0, ∀k ∈ R − {1}. Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

• O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³  satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 .

   (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, Em particular, (0, 0, 0) < U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).

• O subconjunto U0 = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 1} de R³ não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³ sobre R pois:

   (i) Observe que, por exemplo, (1, 1, 0) ; (1, 1, 0) ∈ U0 , mas (1, 0, 0) + (1, 1, 0) > U0.

   (ii) Observe que, por exemplo, (1, 0, 0) ∈ U0, mas k(1, 0, 0) > U0, ∀k ∈ R − {1}. Em particular, (0, 0, 0) > U0. (Observemos que o fato do elemento neutro do espaço vetorial pertencer ao pretenso subconjunto é uma condição necessária).