Existem funções que relacionam espaços vetoriais ou subespaços vetoriais a outros espaços vetoriais chamadas de transformações lineares.

Assim sabendo que T: IR² →R³  associa vetores pertencentes a IR² do tipo (x, y)  = ( - 2, - 1), definido pela imagem f(x, y) = (2x, - y, x² - y) tem-se uma transformação linear, se:

f(- 2, - 1) = (- 4, - 1, - 3)

f(- 2, - 1) = (- 4, 1, 5)

f(- 2, - 1) = ( 4, 1, 3)

f(- 2, - 1) = (- 4, 1, 3)

f(- 2, - 1) = (- 4, - 1, 5)

(x1 - y1 + x2 - y2, y1 + y2,  z1 - z2) e (- a x1 + a y1, a y1, - a z1).

(x1 - y1 - x2 - y2, y1 + y2, - z1 - z2) e (- a x1 - a y1, a y1, - a z1).

(x1 - y1 + x2 - y2, y1 + y2,  z1 - z2) e (a x1 - a y1, a y1,  a z1).

(x1 - y1 + x2 - y2, y1 - y2, - z1 - z2) e (a x1 + a y1, a y1, - a z1).

(x1 - y1 + x2 - y2, y1 + y2, - z1 - z2) e (a x1 - a y1, a y1, - a z1).

 

a = - 10/7 e b = 8/7

a = 20/7 e b = 8/7

a = 10/7 e b = 28/7

a = 10/7 e b = 8/7

a = 10/7 e b = -  8/7

Dado um espaço vetorial V, um  subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

 i) Para quaisquer vetores:  ,  ∈ W, tivermos     +  ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,   ∈ W, tivermos a .   ∈ W

  Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

W={(x, y, z); x = y - z;  com x, y, z  IR}

 

 = (y1 - z1, y1,  z1);  = (y2 - z2, y2 ,  z2)

 +  =((y1 - z1) + (y2 - z2), y1 + y2, z1 + z2) 

a .= (y1 - z1, y1,  z1) = (ay1 – az1, ay1,  az1)

 

 

  = (- y1 - z1, y1,  z1);  = ( - y2 – z2, y2,  z2)

 +  = z1 + (- y1 – y2 –z2, - y1 + y2, z1 + z2)

a . = a.  (- y1 - z1, y1, z1) = (- ay1 - az1, y1, az1)

 

 

 = (y1 - z1, y1,  z1);  = (y2 - z2, y2 ,  z2)

 +  = ( y1 – z1, y1, z1) = ay1 – az1, ay1, az1)

a . = a.  (y1 - z1, y1,  z1) =  (ay1 - az1, y1, az1) 

 

 

 = (y1 . z1, y1,  z1);  = (y2 . z2, y2 ,  z2)

 +  =((y1 . z1) + (y2 . z2), y1 . y2, z1 . z2) 

a .= (y1 - z1, y1,  z1) = (ay1 – az1, ay1,  az1)

 

 

 = (y1 + z1, y1,  z1);  = (y2 + z2, y2 ,  z2)

 +  =((y1 - z1) + (y2 - z2), y1 + y2, z1 + z2) 

a .= (- y1 - z1, y1,  -z1) = (-ay1 – az1, ay1,  -az1)

 

 

Ao verificar se A = {(1,1,2), (-1,0,0), (1,1,0)} gera o espaço V.

Obtemos:

a3 = y - z / 2

a2 = 2y - x / 2

a2 = 2y - x

a3 = y - 2x / 2

a1 = x / 2.

Determinando  os autovalores e autovetores de T(x , y) = ( - y, x ), podemos afirmar que é correto dizer:

Não tem autovalores, mas tem autovetores para essa transformação linear.

Essa transformação linear não está definida no campo vetorial.

Tem autovalores e autovetores para essa transformação linear.

Não tem autovalores e autovetores para essa transformação linear.

Tem autovalores, mas não autovetores para essa transformação linear.

Seja o operador linear T: IR² → IR², dado por T(x, y) = ( 3x, 8x - y), podemos dizer que o polinômio característico dessa transformação é definido por

Portanto os valores próprios dessa transformação são:

Para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, sabendo que o vetor  ( x1 + 3, y1, z1 + 1) e

  ( x2, y2, z2), podemos garantir a soma, no espaço tridimensional, se verifica em:

(x1 + x2 +4, y1 + y2, z1 + z2)

(x1 + x2 +3, y1 + y2, z1 + z2 + 1)

(x1 + x2 +3, y1 + y2, z1 + z2)

(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2 + 1)

(x1 + x2 , y1 + y2, z1 + z2 + 4)

 

(5/2, 0).

(5/2, 8).

(5/2, - 4).

( - 5/2, 0).

(5/2, 2).