Dado um espaço vetorial V, um  subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

 i) Para quaisquer vetores:  ,  ∈ W, tivermos     +  ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,   ∈ W, tivermos a .   ∈ W

  Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

W={(x, y, z); x = y - z;  com x, y, z  IR}

 

•  = (y1 - z1, y1,  z1);  = (y2 - z2, y2 ,  z2)

   +  =((y1 - z1) + (y2 - z2), y1 + y2, z1 + z2) 

  a .= (y1 - z1, y1,  z1) = (ay1 – az1, ay1,  az1)

   

   

•   = (- y1 - z1, y1,  z1);  = ( - y2 – z2, y2,  z2)

   +  = z1 + (- y1 – y2 –z2, - y1 + y2, z1 + z2)

  a . = a.  (- y1 - z1, y1, z1) = (- ay1 - az1, y1, az1)

   

   

•  = (y1 - z1, y1,  z1);  = (y2 - z2, y2 ,  z2)

   +  = ( y1 – z1, y1, z1) = ay1 – az1, ay1, az1)

  a . = a.  (y1 - z1, y1,  z1) =  (ay1 - az1, y1, az1) 

   

   

•  = (y1 . z1, y1,  z1);  = (y2 . z2, y2 ,  z2)

   +  =((y1 . z1) + (y2 . z2), y1 . y2, z1 . z2) 

  a .= (y1 - z1, y1,  z1) = (ay1 – az1, ay1,  az1)

   

   

•  = (y1 + z1, y1,  z1);  = (y2 + z2, y2 ,  z2)

   +  =((y1 - z1) + (y2 - z2), y1 + y2, z1 + z2) 

  a .= (- y1 - z1, y1,  -z1) = (-ay1 – az1, ay1,  -az1)