Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial.

Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.

2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W.

Verificar que os seguintes subconjuntos R² são ou não são subespaços vetoriais de V = IR² e

S = {(x, y) ∈ R² | y = 3x}, ou S = {(x, 3x) com x ∈ IR}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R² pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

 

•   = (3x1, x1);     = (3x2, x2)

    + = (3x1, x1) +  (3x2, x2) = (3x1 + 3x2, x1 + x2)

  a. = a.3(x1, x1) = (3ax1, ax1). Logo W é subespaço vetorial de (3x, x).

   

•   = (x1, 3x1);     = (x2, 3x2)

    - = (x1, 3x1) -  (x2, 3x2) = (x1 - x2, 3x1 - 3x2)

  a. = a.(x1, 3x1) = (ax1, 3ax1). Logo W é subespaço vetorial de (x, 3x).

   

•   = (x1, 3x1);     = (x2, 3x2)

    + = (x1, 3x1) +  (x2, 3x2) = (x1 + x2, 3x1 + 3x2)

  a/ = a/(x1, 3x1) = (ax1, 3ax1). Logo W é subespaço vetorial de (x, 3x).

•   = (3x1, 3x1);     = (3x2, 3x2)

    + = (3x1, 3x1) +  (3x2, 3x2) = (3x1 + 3x2, 3x1 + 3x2)

  a. = a.(3x1, 3x1) = (3ax1, 3ax1). Logo W é subespaço vetorial de (3x, x).

   

•   = (x1, 3x1);     = (x2, 3x2)

    + = (x1, 3x1) +  (x2, 3x2) = (x1 + x2, 3x1 + 3x2)

  a. = a.(x1, 3x1) = (ax1, 3ax1). Logo W é subespaço vetorial de (x, 3x).