Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

 i) Para quaisquer vetores:  ,      ∈ W, tivermos      +    ∈ W.

 ii) Para quaisquer a ∈ IR,    ∈ W, tivermos a .     ∈ W

  Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³ pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:

W={(x, y, 0); com x, y e z  IR.

 

•  = (x1,  0, y1) e = (x2, 0, y2).

   + = (x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) . Logo W  é considerado um subespaço vetorial.

   

•  = (x1,  0, y1) e = (x2, 1, y2).

   + = (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W  é considerado um subespaço vetorial.

   

•  = (x1, y1, 0) e = (x2, y2, 0).

   + = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0). Logo W  é considerado um subespaço vetorial. 

   

•  = (x1, y1, 1) = (x2, y2, 0).

   + = (x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) . Logo W  é considerado um subespaço vetorial.

•  = (x1, y1, 01 e = (x2, y2, 0).

   + = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W  é considerado um subespaço vetorial.