Dado um conjunto não-vazio  G  e uma operação  ❋  sobre esse conjunto, se diz que o par  ( G ,  ❋ )  é um grupo,  ou,  que, G  é grupo em relação a operação  ❋,  se:

i) a operação sobre G é associativa,

ii) a operação sobre G admite elemento neutro,

iii) todo elemento de G tem simétrico em relação a essa lei.

 

E se ainda,  ( G ,  ❋ )  onde a operação  ❋  é comutativa é dito que temos um grupo abeliano  ou  grupo comutativo.

 

Portanto  podemos concluir que um conjunto B = Z x Z, onde os seus elementos a, b, c e d são operados seguindo a lei de formação

(a, b)  ❋  (c,  d)  =  (a.c,  b  +  d), é considerado:

 

• Não pode ser considerado um grupo porque não admite elemento simétrico.

• Um grupo comutativo ou grupo abeliano.

• Não pode ser considerado um grupo porque não admite elemento neutro.

• Apenas um grupo.

• Não pode ser considerado um grupo porque não possui a propriedade associativa.